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薛定谔方程

2012-03-03 13:56:18 本文行家:宇宙与道

薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的量子力学中的一个基本方程,也是量子力学的一个基本假定,其正确性只能靠实验来检验。它揭示了微观物理世界物质运动的基本规律,就像牛顿定律在经典力学中所起的作用一样,它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具,在原子、分子、固体物理、核物理、化学等领域中被广泛应用。

薛定谔方程 - 定义

波函数波函数

薛定谔方程是一个用于描述量子力学波函数运动方程。是量子力学的奠基理论之一。[1]

薛定谔方程 - 内容

氢原子的薛定谔方程。氢原子的薛定谔方程。

薛定谔方程的英语是Schrödinger equation,是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出。

薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。

含时薛定谔方程相依于时间,专门用来计算一个量子系统的波函数,怎样随着时间演变。

不含时薛定谔方程不相依于时间,可以计算一个定态量子系统,对应于某本征能量的本征波函数。

波函数又可以用来计算,在量子系统里,某个事件发生的概率幅。而概率幅的绝对值的平方,就是事件发生的概率密度。[1]

薛定谔方程 - 解释

清楚地描述量子系统里,量子尺寸粒子的统计性量子行为。量子尺寸的粒子包括基本粒子,像电子、质子、正电子、等等,与一组相同或不相同的粒子,像原子核。[1]

薛定谔方程 - 转换

薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学,或费曼的路径积分表述(path integral formulation)。薛定谔方程是个非相对论性的方程,不能够用于相对论性理论。海森堡表述比较没有这么严重的问题;而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。[1]

薛定谔方程 - 背景资料

波粒二象性

爱因斯坦诠释普朗克的量子为光子,光波的粒子;也就是说,光波具有粒子的性质,一种很奇奥的波粒二象性。他建议光子的能量与频率成正比。在相对论里,能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同,所以,连带地,光子的动量与波数成正比。

1924年,路易·德布罗意提出一个惊人的假设,每一种粒子都具有波粒二象性。电子也有这种性质。电子是一种波动,是电子波。电子的能量与动量决定了它的物质波的频率与波数。1927年,克林顿·戴维孙和雷斯特·革末将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。然后,测量反射的强度,侦测结果与X射线根据布拉格定律 (Bragg's law) 计算的衍射图案相同。戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。

波动方程

薛定谔夜以继日地思考这些先进理论,既然粒子具有波粒二象性,应该会有一个反应这特性的波动方程,能够正确地描述粒子的量子行为。于是,薛定谔试着寻找一个波动方程。哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路,在牛顿力学与光学之间,有一种类比,隐蔽地暗藏于一个察觉里。这察觉就是,在零波长极限,实际光学系统趋向几何光学系统;也就是说,光射线的轨道会变成明确的路径,遵守最小作用量原理。哈密顿相信,在零波长极限,波传播会变为明确的运动。可是,他并没有设计出一个方程来描述这波行为。这也是薛定谔所成就的。他很清楚,经典力学的哈密顿原理,广为学术界所知地,对应于光学的费马原理。借着哈密顿-雅可比方程,他成功地创建了薛定谔方程。薛定谔用自己设计的方程来计算氢原子的谱线,得到了与用玻尔模型计算出的能级相同的答案。

但是,薛定谔对这结果并不满足,因为,索末菲似乎已经正确地计算出氢原子光谱线精细结构常数的相对论性的修正。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式,来寻找一个相对论性方程(现今称为克莱因-高登方程),可以描述电子在库仑位势内的量子行为。薛定谔计算出这方程的定态波函数。可是,相对论性的修正与索末菲的公式有分歧。虽然如此,他认为先前非相对论性的部分,仍旧含有足够的新结果。因此,决定暂时不发表相对论性的修正,只把他的波动方程与氢原子光谱分析结果,写为一篇论文。1926年,正式发表于物理学界。从此,给予了量子力学一个新的发展平台。

薛定谔方程漂亮地解释了如图示

图示图示

的行为,但并没有解释如图示的意义。薛定谔曾尝试解释如图示代表电荷的密度,但却失败了。1926年,就在薛定谔第四篇的论文发表之后几天,马克斯·玻恩提出概率幅的概念,成功地解释如图示的物理意义。可是,薛定谔本人一直不承认这种统计或概率的表示方法,和它所伴随的非连续性波函数坍缩。就像爱因斯坦的认为量子力学是基本为确定性理论的统计近似,薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年,他写给马克斯·玻恩的一封信内,薛定谔清楚地表明了这看法。[1]

薛定谔方程 - 简介

应用

量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。薛定谔方程广泛地用于原子物理核物理和固体物理,对于原子分子固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。   

薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子,其中也没有包含关于粒子自旋的描述。当计及相对论效应时,薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代,其中自然包含了粒子的自旋。   

本征方程

量子力学基本方程是一个非相对论的波动方程。它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律,它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样,是量子力学的基本假设之一。设描述微观粒子状态的波函数为Ψ(r,t),质量为m的微观粒子在势场V(r,t)中运动的薛定谔方程为。在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下,可解出波函数Ψ(r,t)。由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值(期望值)。当势函数V不依赖于时间t时,粒子具有确定的能量,粒子的状态称为定态。定态时的波函数可写成式中Ψ(r)称为定态波函数,满足定态薛定谔方程,这一方程在数学上称为本征方程,式中E为本征值,是定态能量,Ψ(r)又称为属于本征值E的本征函数。[2]

薛定谔方程 - 人物简介

埃尔温·薛定谔埃尔温·薛定谔

薛定谔

薛定谔不仅是奥地利杰出的理论物理学家,诺贝尔奖获得者,分子生物学的奠基人,而且还作为一个抒情诗人在语言的艺术中展露锋芒。

薛定谔生于维也纳,1910年取得维也纳大学博士学位。先后在维也纳,苏黎世等地任教。1926年将法国人德布罗意的物质波观念用数学表示,得到量子力学中最基本的薛定谔方程式即著名的波动方程,因而获1933年诺贝尔物理学奖。

1944年,薛定谔以广博的知识作基础和敏锐的洞察力,将物理学新理论应用到生物学中,出版了通俗读物《生命是什么》。书中用新观点解释复杂的生命现象,开创了物理学和生命科学相结合的新天地。由于薛定谔在物理学界的巨大影响,这本书受到广泛的关注,被誉为“唤起生物学革命的小册子”。沃森、克里克正是在这本书的影响下开始进行DNA结构研究的。

薛定谔1949年曾出版过一本诗集,在这本诗集种,除了他自己用德文和英文写的诗之外,还编入了英国抒情诗的译文。从下面一首诗可以看出薛定谔的风格和才华。

诗歌

“葡萄饱含着汁液鲜美而香甜,
在那山前,它现出目光深沉的容颜。
太阳在八月蔚蓝色的天空里,
发热、燃烧着,让冷飕飕的山风消散。
紫色的野果把红日引到身边:
请尝一尝串串的果儿馈赠的香甜。
汁液沿太阳的血管缓缓流动,
它蕴藏着给你和他人的欢乐无限。
啊!已临近岁暮,那成熟之年,
夜晚降临了,带来的是凛冽严寒。
云儿在高空飘浮,在那日出之前,
寒霜覆盖网一般的别致的藤蔓。”[3]

薛定谔方程 - 正文

微观系统的状态由波函数Ψ(rt)描写,薛定谔方程是波函数Ψ(r,t)的一个微分方程,它的形式为

薛定谔方程

式中μ是粒子的质量,U(r,t)是粒子所在力场的势函数。 
薛定谔方程是E.薛定谔在1926年提出来的。在给定的初始条件(系统的初状态)和边界条件下,即可解出系统的波函数Ψ(r,t)。量子力学要求,波函数Ψ(r,t)不单是满足薛定谔方程,还必须满足以下条件:波函数在变量变化的全部区域内是单值的,除有限个点外是有限的和连续的。这个条件常被称为波函数的标准条件。 
当势函数 U(r,t)与时间t无关时,薛定谔方程的解就可以写成

薛定谔方程

的形式。式中Ψ(r)满足定态薛定谔方程

薛定谔方程[4]

E为系统的能量。

薛定谔方程 - 数学形式

 

薛定谔波动方程薛定谔波动方程

这是一个二阶线性偏微分方程,ψ(x,y,z)是待求函数,它是x,y,z三个变量的复数函数(就是说函数值不一定是实数,也可能是虚数)。式子最左边的倒三角是一个算符,意思是分别对ψ(x,y,z)的x,y,z坐标求偏导的平方和。 
物理含义 
这是一个描述一个粒子在三维势场中的定态薛定谔方程。所谓势场,就是粒子在其中会有势能的场,比如电场就是一个带电粒子的势场;所谓定态,就是假设波函数不随时间变化。其中,E是粒子本身的能量;U(x,y,z)是描述势场的函数,假设不随时间变化。薛定谔方程有一个很好的性质,就是时间和空间部分是相互分立的,求出定态波函数的空间部分后再乘上时间部分e^(-t*i*2π/h)以后就成了完整的波函数了。 
薛定谔方程的解——波函数的性质 
1.虽然任意给定的E都可以解出一个函数解,但只有满足一定条件的分立的一些E值才能给出有物理意义的波函数;   2.由于薛定谔方程是一个线性微分方程,所以任意几个解的线性组合还是薛定谔方程的解。

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