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光速的简单推算

2012-02-12 21:13:49 本文行家:宇宙与道

光在不同介质中的速度不同,由于光是电磁波,因此光速也就依赖于介质的介电常数和磁导率。在各向同性的静止介质中,光速是一个小于真空光速c的定值。如果介质以一定的速度运动,则一般求光速的方法是先建立一个随动参考系,其中的光速是静止介质中的光速,然后通过参考系变换得到运动介质中的光速;或者可以直接用相对论速度叠加公式去求运动介质中的光速。

光在不同介质中的速度不同,由于光是电磁波,因此光速也就依赖于介质的介电常数和磁导率。在各向同性的静止介质中,光速是一个小于真空光速c的定值。如果介质以一定的速度运动,则一般求光速的方法是先建立一个随动参考系,其中的光速是静止介质中的光速,然后通过参考系变换得到运动介质中的光速;或者可以直接用相对论速度叠加公式去求运动介质中的光速。  光和声虽然都具有波动性质,但两者波速的算法是完全不同的。以声音实验为例:空气对地面静止,第1次我们不动测得我们发出的声音1秒钟前进了300米;第二次我们1秒钟匀速后退1米,测得声音距我们301米,得到结论:两次声音相对地面速度不变,相对我们,第一次300米/秒;第2次301米/秒。在牵涉到的速度远小于光速的情况下,声速满足线性叠加。  换做光实验,我们用玻璃介质再做一次,静止玻璃中的光速,在各个方向上都是相等的。我们再做一个我们不动,让玻璃匀速运动的实验,会发现光对玻璃的速度在不同方向上是不等的,但不是简简单单的线性叠加了,而是遵循相对论速度叠加:  v'=(v+u)/(1+u·v/c&sup2;),注意这里v、u为矢量,v是静止介质中的光速,u是介质的运动速度,v'就是求得的运动介质中的光速。  其实在前述声速实验中,声速严格来讲遵循的也是相对论速度叠加,只是若u、v都远小于光速c,则式子中u·v/c&sup2;是个很小的值,近似略去之后就得v'≈v+u,回到经典的线性叠加形式。  所以,千万不可以用低速条件下机械波的近似规律去硬套光波。作为狭义相对论基本假设之一的光速不变原理,永远指的是真空中的光速c不变,它是基本物理常数之一。如果有介质,就需要利用相对论速度叠加公式去求光速,切忌用简单线性叠加。对光速不变原理的正确理解,是正确理解狭义相对论的关键之一。  不同介质中有不同的光速值。1850年菲佐用齿轮法测定了光在水中的速度,证明水中光速小于空气中的光速。几乎在同时,傅科用旋转镜法也测量了水中的光速(3/4c),得到了同样结论。这一实验结果与波动说相一致而与牛顿的微粒说相矛盾(解释光的折射定律时),这对光的波动本性的确立在历史上曾起过重要作用。1851年,菲佐用干涉法测量了运动介质中的光速,证实了A.-J.菲涅耳的曳引公式。[玻璃中光速2/3c]  光在水中的速度:2.25×10^8m/s  光在玻璃中的速度:2.0×10^8m/s  光在冰中的速度:2.30×10^8m/s  光在空气中的速度:3.0×10^8m/s  光在酒精中的速度:2.2×10^8m/s  上述理论只在19世纪70年代基本准确,在爱因斯坦>>广义相对论<<中,光速是这样阐述的:物体运动接近光速时,时间变得缓慢,当物体运动等于光速时,时间静止,当物体运动超过光速时,时间倒流.这三个推断是20世纪70年代初中期国际天文机构观察探测日食时得出结论。  E=mc^2推导  第一步:要讨论能量随质量变化,先要从量纲得知思路:  能量量纲[E]=[M]([L]^2)([T]^(-2)),即能量量纲等于质量量纲和长度量纲的平方以及时间量纲的负二次方三者乘积。  我们需要把能量对于质量的函数形式化简到最简,那么就要求能量函数中除了质量,最好只有一个其它的变量。  把([L]^2)([T]^(-2))化简,可以得到只有一个量纲-速度[V_]的形式:  [V_]*[V_]。  也就是[E]=[M][V_]*[V_]  可见我们要讨论质能关系,最简单的途径是从速度v_下手。  ----------------------------------------------------  第二步:先要考虑能量的变化 与能量的变化有关的有各种能量形式的转化,其中直接和质量有关的只有做功。  那么先来考虑做功对于能量变化的影响。  当外力F_(后面加_表示矢量,不加表示标量)作用在静止质量为m0的质点上时,每产生ds_(位移s_的微分)的位移,物体能量增加  dE=F_*ds_(*表示点乘)。  考虑最简化的 外力与位移方向相同的情况,上式变成  dE=Fds  ----------------------------------------  第三步:怎样把力做功和速度v变化联系起来呢?也就是说怎样来通过力的作用效果来得出速度的变化呢?  我们知道力对物体的冲量等于物体动量的增量。那么,通过动量定理,力和能量就联系起来了:  F_dt=dP_=mdv_  ----------------------------------------  第四步:上式中显然还要参考m质量这个变量,而我们不想让质量的加入把我们力和速度的关系复杂化。我们想找到一种办法约掉m,这样就能得到纯粹的速度和力的关系。  参考dE=Fds和F_dt=dP_,我们知道,v_=ds_/dt  那么可以得到  dE=v_*dP_  如果考虑最简单的形式:当速度改变和动量改变方向相同:  dE=vdP  ---------------------------------  第五步:把上式化成能量和质量以及速度三者的关系式(因为我们最初就是要讨论这个形式):  dE=vd(mv)----因为dP=d(mv)  ---------------------------------  第六步:把上式按照微分乘法分解  dE=v^2dm+mvdv  这个式子说明:能量的增量含有质量因速度增加而增加dm产生的能量增量和单纯速度增加产生的能量增量2个部分。(这个观点非常重要,在相对论之前,人们虽然在理论物理推导中认识到质量增加也会产生能量增量,但是都习惯性认为质量不会随运动速度增加而变化,也就是误以为dm恒定为0,这是经典物理学的最大错误之一。)  ---------------------------------  第七步:我们不知道质量随速度增加产生的增量dm是怎样的,现在要研究它到底如何随速度增加(也就是质量增量dm和速度增量dv之间的直接关系):  根据洛仑兹变换推导出的静止质量和运动质量公式:  m=m0[1-(v^2/c^2)]^(-1/2)  化简成整数次幂形式:  m^2=(m0^2)[1-(v^2/c^2)]  化成没有分母而且m和m0分别处于等号两侧的形式(这样就是得到运动质量m对于速度变化和静止质量的纯粹的函数形式):  (m^2)(c^2-v^2)=(m0^2)c^2  用上式对速度v求导得到dm/dv(之所以要这样做,就是要找到质量增量dm和速度增量dv之间最直接的关系,我们这一步的根本目的就是这个):  d[(m^2)(c&sup2;-v&sup2;)]/dv=d[(m0&sup2;)c&sup2;]/dv(注意式子等号右边是常数的求导,结果为0)  即  [d(m&sup2;)/dv](c&sup2;-v&sup2;)+m&sup2;[d(c&sup2;-v&sup2;)/dv]=0  即  [m(dm/dv)+m(dm/dv)](c&sup2;-v&sup2;)+(m&sup2;)[0-2v]=0  即  2m(dm/dv)(c&sup2;-v&sup2;)-2vm&sup2;=0  约掉公因式2m(肯定不是0,呵呵,运动质量为0?没听说过)  得到:  (dm/dv)(c&sup2;-V&sup2;)-mv=0  即  (dm/dv)(c^2-V^2)=mv  由于dv不等于0(我们研究的就是非静止的情况,运动系速度对于静止系的增量当然不为0)  (c^2-v^2)dm=mvdv  这就是我们最终得到的dm和dv的直接关系。  --------------------------------------------  第八步:有了dm的函数,代回到我们第六步的能量增量式  dE=v^2dm+mvdv  =v^2dm+(c^2-v^2)dm  =c^2dm  这就是质能关系式的微分形式,它说明:质量的增量与能量的增量成正比,而且比例系数是常数c^2。  ------------------------------------------  最后一步:推论出物体从静止到运动速度为v的过程中,总的能量增量:  对上一步的结论进行积分,积分区间取质量从静止质量m0到运动质量m,得到  ∫dE=∫[m0~m]c^2dm  即  E=mc^2-m0c^2  这就是 物体从静止到运动速度为v的过程中,总的能量增量。  其中  E0=m0c^2称为物体静止时候的静止能量。  Ev=mc^2称为物体运动时候的总动能(运动总能量)。  总结:对于任何已知运动质量为m的物体,可以用E=mc^2直接计算出它的运动动能。

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