物理宇宙学百科

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广义相对论

2012-02-11 22:02:15 本文行家:宇宙与道

广义相对论是阿尔伯特·爱因斯坦于1916年发表的用几何语言描述的引力理论,它代表了现代物理学中引力理论研究的最高水平。广义相对论将经典的牛顿万有引力定律包含在狭义相对论的框架中,并在此基础上应用等效原理而建立。在广义相对论中,引力被描述为时空的一种几何属性(曲率);而这种时空曲率与处于时空中的物质与辐射的能量-动量张量直接相联系,其联系方式即是爱因斯坦的引力场方程(一个二阶非线性偏微分方程组)。从

广义相对论是阿尔伯特·爱因斯坦于1916年发表的用几何语言描述的引力理论,它代表了现代物理学中引力理论研究的最高水平。广义相对论将经典的牛顿万有引力定律包含在狭义相对论的框架中,并在此基础上应用等效原理而建立。在广义相对论中,引力被描述为时空的一种几何属性(曲率);而这种时空曲率与处于时空中的物质与辐射的能量-动量张量直接相联系,其联系方式即是爱因斯坦的引力场方程(一个二阶非线性偏微分方程组)。 从广义相对论得到的有关预言和经典物理中的对应预言非常不相同,尤其是有关时间流逝、空间几何、自由落体的运动以及的传播等问题,例如引力场内的时间膨胀、光的引力红移和引力时间延迟效应。广义相对论的预言至今为止已经通过了所有观测和实验的验证——虽说广义相对论并非当今描述引力的唯一理论,它却是能够与实验数据相符合的最简洁的理论。不过,仍然有一些问题至今未能解决,典型的即是如何将广义相对论和量子物理的定律统一起来,从而建立一个完备并且自洽的量子引力理论。 爱因斯坦的广义相对论理论在天体物理学中有着非常重要的应用:它直接推导出某些大质量恒星会终结为一个黑洞——时空中的某些区域发生极度的扭曲以至于连光都无法逸出。有证据表明恒星质量黑洞以及超大质量黑洞是某些天体例如活动星系核和微类星体发射高强度辐射的直接成因。光线在引力场中的偏折会形成引力透镜现象,这使得人们能够观察到处于遥远位置的同一个天体的多个成像。广义相对论还预言了引力波的存在,引力波已经被间接观测所证实,而直接观测则是当今世界像激光干涉引力波天文台(LIGO)这样的引力波观测计划的目标。此外,广义相对论还是现代宇宙学的膨胀宇宙模型的理论基础。

广义相对论 - 历史

广义相对论爱因斯坦解释广义相对论的手稿扉页

1905年爱因斯坦发表狭义相对论后,他开始着眼于如何将引力纳入狭义相对论框架的思考。以一个处在自由落体状态的观察者 的理想实验为出发点,他从1907年开始了长达八年的对引力的相对性理论的探索。在历经多次弯路和错误之后,他于1915年11 月在普鲁士科学院上作了发言,其内容正是著名的爱因斯坦引力场方程。这个方程描述了处于时空中的物质是如何影响其周围 的时空几何,并成为了爱因斯坦的广义相对论的核心。 爱因斯坦的引力场方程是一个二阶非线性偏微分方程组,数学上想要求得方程的解是一件非常困难的事。爱因斯坦运用了很多 近似方法,从引力场方程得出了很多最初的预言。不过很快天才的天体物理学家卡尔·史瓦西就在1916年得到了引力场方程的 第一个非平庸精确解——史瓦西度规,这个解是研究星体引力坍缩的最终阶段,即黑洞的理论基础。在同一年,将史瓦西几何 扩展到带有电荷的质量的研究工作也开始进行,其最终结果就是雷斯勒-诺斯特朗姆度规,其对应的是带电荷的静态黑洞。 1917年爱因斯坦将广义相对论理论应用于整个宇宙,开创了相对论宇宙学的研究领域。考虑到同时期的宇宙学研究中静态宇宙 的学说仍被广为接受,爱因斯坦在他的引力场方程中添加了一个新的常数,这被称作宇宙常数项,以求得和当时的“观测”相 符合。然而到了1929年,哈勃等人的观测表明我们的宇宙处在膨胀状态,而相应的膨胀宇宙解早在1922年就已经由亚历山 大·弗里德曼从他的弗里德曼方程(同样由爱因斯坦场方程推出)得到,这个膨胀宇宙解不需要任何附加的宇宙常数项。比利 时牧师勒梅特应用这些解构造了宇宙大爆炸的最早模型,模型预言宇宙是从一个高温高致密状态演化来的。爱因斯坦其后 承认添加宇宙常数项是他一生中犯下的最大错误。 在那个时代,广义相对论与其他物理理论相比仍保持了一种神秘感。由于它和狭义相对论相融洽,并能够解释很多牛顿引力无 法解释的现象,显然它要优于牛顿理论。爱因斯坦本人在1915年证明了广义相对论是如何解释水星轨道的反常近日点进动的现 象,其过程不需要任何附加参数(所谓“敷衍因子”)。另一个著名的实验验证是由亚瑟·爱丁顿爵士率领的探险队在非 洲的普林西比岛观测到的日食时的光线在太阳引力场中的偏折,其偏折角度和广义相对论的预言完全相符(是牛顿理论预 言的偏折角的两倍),这一发现随后被全球报纸竞相报导,一时间使爱因斯坦的理论名声赫赫。但是直到1960年至1975年 间,广义相对论才真正进入了理论物理和天体物理主流研究的视野,这一时期被称作广义相对论的黄金时代。物理学家逐渐理 解了黑洞的概念,并能够通过天体物理学的性质从类星体中识别黑洞。在太阳系内能够进行的更精确的广义相对论的实验 验证进一步展示了广义相对论非凡的预言能力,而相对论宇宙学的预言也同样经受住了实验观测的检验。 

爱因斯坦方程


在建立了描述引力效应的相对论性几何化版本后,还有一个关于引力的起源问题没有解决。牛顿理论中的引力来源于质量,而在狭义相对论中质量的概念被包含在更具有一般性的能量-动量张量中。这个张量包含了对系统的能量和动量的密度,以及应力(即压强和剪应力的统称)的描述,通过等效原理就可以将能量-动量张量概括到弯曲的时空几何中去。如果和几何化的牛顿引力作进一步的类比,可以很自然地通过一个场方程将能量-动量张量和里奇张量联系起来,而里奇张量正描述了潮汐效应的一类特殊情形:一团初始状态为静止的测试粒子形成的云的体积会由于这群测试粒子作自由落体运动而变化。在狭义相对论中,能量-动量张量的守恒律在数学上对应着它的散度为零,而这一守恒律也可以被概括到更一般的弯曲时空中,其方法是将经典的偏导数替换为它们在曲面流形上的对应物:协变导数。在这一附加条件下,能量-动量张量的协变散度,以及场方程右边所有可能出现的项统统为零,这一组简洁的方程表述被称作爱因斯坦引力场方程。 

广义相对论广义相对论



方程左边是一个由里奇张量构成的并且散度为零的特别组合,这种组合被称作爱因斯坦张量。特别地,

广义相对论广义相对论


 是时空曲率的里奇标量。而里奇张量本身与更一般化的黎曼张量之间的关系为 

广义相对论广义相对论


方程右边的 

广义相对论广义相对论

是能量-动量张量。将引力场方程的理论和对行星轨道实际观测的结果(或等价地考虑到弱场低速时近似为牛顿引力理论)相比较,可得到方程中的比例常数 

广义相对论广义相对论

,其中是万有引力常数而是光速。当没有物质存在时能量 

广义相对论广义相对论

-动量张量为零,这时的爱因斯坦场方程的形式化简为所谓真空解法:

 某些广义相对论的替代理论在基于同样的前提下通过附加其他准则或约束得到了形式不一样的引力场方程,例如爱因斯坦-嘉当理论。 

 

广义相对论 - 天体物理学上的应用

引力透镜

广义相对论爱因斯坦十字:同一个天体在引力透镜效应下的四个成像

引力场中光线的偏折效应是一类新的天文现象的原因。当观测者与遥远的观测天体之间还存在有一个大质量天体,当观测天体的质量和相对距离合适时观测者会看到多个扭曲的天体成像,这种效应被称作引力透镜。受系统结构、尺寸和质量分布的影响,成像可以是多个,甚至可以形成被称作爱因斯坦环的圆环,或者圆环的一部分弧。最早的引力透镜效应是在1979年发现的,至今已经发现了超过一百个引力透镜。即使这些成像彼此非常接近以至于无法分辨——这种情形被称作微引力透镜——这种效应仍然可通过观测总光强变化测量到,很多微引力透镜也已经被发现。
引力透镜已经发展成为观测天文学的一个重要工具,它被用来探测宇宙间暗物质的存在和分布,并成为了用于观测遥远星系的天然望远镜,还可对哈勃常数做出独立的估计。引力透镜观测数据的统计结果还对星系结构演化的研究具有重要意义。

引力波天文学

广义相对论艺术家的构想图:激光空间干涉引力波探测器LISA

对脉冲双星的观测是间接证实引力波存在的有力证据(参见上文轨道衰减一节),然而对来自宇宙深处的引力波的直接观测始终未能实现,这也成为了相对论前沿研究的主要课题之一。现在已经有相当数量的地面引力波探测器投入运行,最著名的是GEO600、LIGO(包括三架激光干涉引力波探测器)、TAMA300和VIRGO;而美国和欧洲合作的空间激光干涉探测器LISA现在正处于开发阶段,其先行测试计划LISA探路者(LISAPathfinder)将于2009年底之前正式发射升空。
对引力波的探测将在很大程度上扩展基于电磁波观测的传统观测天文学的视野,人们能够通过探测到的引力波信号了解到其波源的信息。这些从未被真正了解过的信息可能来自于黑洞、中子星白矮星等致密星体,可能来自于某些超新星爆发,甚至可能来自宇宙诞生极早期的暴涨时代的某些烙印,例如假想的宇宙弦。

黑洞和其它致密星体

广义相对论基于广义相对论理论的计算机模拟一颗恒星坍缩为黑洞并释放出引力波的过程

广义相对论预言了黑洞的存在,即当一个星体足够致密时,其引力使得时空中的一块区域极端扭曲以至于光都无法逸出。在当前被广为接受的恒星演化模型中,一般认为大质量恒星演化的最终阶段的情形包括1.4倍左右太阳质量的恒星演化为中子星,而数倍至几十倍太阳质量的恒星演化为恒星质量黑洞。具有几百万倍至几十亿倍太阳质量的超大质量黑洞被认为定律性地存在于每个星系的中心,一般认为它们的存在对于星系及更大的宇宙尺度结构的形成具有重要作用。
在天文学上致密星体的最重要属性之一是它们能够极有效率地将引力能量转换为电磁辐射。恒星质量黑洞或超大质量黑洞对星际气体和尘埃的吸积过程被认为是某些非常明亮的天体的形成机制,著名且多样的例子包括星系尺度的活动星系核以及恒星尺度的微类星体。在某些特定场合下吸积过程会在这些天体中激发强度极强的相对论性喷流,这是一种喷射速度可接近光速的且方向性极强的高能等离子束。在对这些现象进行建立模型的过程中广义相对论都起到了关键作用,而实验观测也为支持黑洞的存在以及广义相对论做出的种种预言提供了有力证据。
黑洞也是引力波探测的重要目标之一:黑洞双星的合并过程可能会辐射出能够被地球上的探测器接收到的某些最强的引力波信号,并且在双星合并前的啁啾信号可以被当作一种“标准烛光”从而来推测合并时的距离,并进一步成为在大尺度上探测宇宙膨胀的一种手段。而恒星质量黑洞等小质量致密星体落入超大质量黑洞的这一过程所辐射的引力波能够直接并完整地还原超大质量黑洞周围的时空几何信息。

宇宙学

广义相对论威尔金森微波各向异性探测器(WMAP)拍摄的全天微波背景辐射的温度涨落

现代的宇宙模型是基于带有宇宙常数的爱因斯坦场方程建立的,宇宙常数的值对大尺度的宇宙动力学有着重要影响。
这个经修改的爱因斯坦场方程具有一个各向同性并均匀的解:弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度规,在这个解的基础上物理学家建立了从一百四十亿年前炽热的大爆炸中演化而来的宇宙模型。只要能够将这个模型中为数不多的几个参数(例如宇宙的物质平均密度)通过天文观测加以确定,人们就能从进一步得到的实验数据检验这个模型的正确性。这个模型的很多预言都是成功的,这包括太初核合成时期形成的化学元素初始丰度、宇宙的大尺度结构以及早期的宇宙温度在今天留下的“回音”:宇宙微波背景辐射。
从天文学观测得到的宇宙膨胀速率可以进一步估算出宇宙中存在的物质总量,不过有关宇宙中物质的本性还是一个有待解决的问题。现在估计宇宙中大约有90%以上的物质都属于暗物质,它们具有质量(即参与引力相互作用),但不参与电磁相互作用,即它们无法(通过电磁波)直接观测到。目前在已知的粒子物理或其他什么理论的框架中还没有办法对这种物质做出令人满意的描述。另外,对遥远的超新星红移的观测以及对宇宙微波背景辐射的测量显示,我们的宇宙的演化过程在很大程度上受宇宙常数值的影响,而正是宇宙常数的值决定了现在宇宙的加速膨胀。换句话说,宇宙的加速膨胀是由具有非通常意义下的状态方程的某种能量形式决定的,这种能量被称作暗能量,其本性也仍然不为所知。
在所谓暴涨模型中,宇宙曾在诞生的极早期(~10-33秒)经历了剧烈的加速膨胀过程。这个在于二十世纪八十年代提出的假说是由于某些令人困惑并且用经典宇宙学无法解释的观测结果而提出的,例如宇宙微波背景辐射的高度各向同性,而现在对微波背景辐射各向异性的观测结果是支持暴涨模型的证据之一。然而,暴涨的可能的方式也是多样的,现今的观测还无法对此作出约束。一个更大的课题是关于极早期宇宙的物理学的,这涉及到发生在暴涨之前的、由经典宇宙学模型预言的大爆炸奇点。对此比较有权威性的意见是这个问题需要由一个完备的量子引力理论来解答,而这个理论至今还没有建立(参加下文量子引力)。

广义相对论 - 进阶概念

广义相对论


视界
在全局几何下可以证明有些时空中存在被称作视界的分界线,它们将时空中的一部分区域隔离起来。这样的最著名例子是黑洞:当质量被压缩到空间中的一块足够小的区域中后(相关长度为史瓦西半径),没有光子能从内部逸出。而由于任何有质量的粒子速度都无法超过光速,黑洞内部的物质也被封闭在视界内。不过,从视界之外到视界之内的通道依然是存在的,这表明黑洞的视界作为一种分界线并不是物理性质的屏障。

广义相对论一个旋转黑洞的能层,在从旋转黑洞抽取能量的过程中扮演着重要角色

早期的黑洞研究主要依赖于求得爱因斯坦场方程的精确解,著名的解包括球对称的史瓦西解(用来描述静态黑洞)和反对称的克尔解(用来描述旋转定态黑洞,并由此引入了能层等有趣的属性)。而后来的研究通过全局几何揭示了更多的关于黑洞的普适性质:研究表明经过一段相当长的时间后黑洞都逐渐演化为一类相当简单的可用十一个参数来确定的星体,包括能量、动量、角动量、某一时刻的位置和所带电荷。这一性质可归纳为黑洞的唯一性定理:“黑洞没有毛发”,即黑洞没有像人类的不同发型那样的不同标记。例如,星体经过引力坍缩形成黑洞的过程非常复杂,但最终形成的黑洞的属性却相当简单。
更值得一提的是黑洞研究已经得到了一组制约黑洞行为的一般性定律,这被称作黑洞(热)力学,这些定律与热力学定律有很强的类比关系。例如根据黑洞力学的第二定律,一个黑洞的视界面积永不会自发地随着时间而减少,这类似于一个热力学系统的熵;这个定律也决定了通过经典方法(例如,彭罗斯过程)不可能从一个旋转黑洞中无限度地抽取能量。这些都强烈暗示了黑洞力学定律实际是热力学定律的一个子集,而黑洞的表面积和它的熵成正比。从这个假设可以进一步修正黑洞力学定律。例如,由于黑洞力学第二定律是热力学第二定律的一部分,则可知黑洞的表面积也有可能减小,只要有某种其它过程来保证系统的总熵是增加的。而热力学第三定律认为不存在温度为绝对零度的物体,可以进一步推知黑洞应该也存在热辐射;半经典理论计算表明它们确实存在有热辐射,在这个机制中黑洞的表面引力充当着普朗克黑体辐射定律中温度的角色,这种辐射称作霍金辐射(参见下文量子理论一节)。
广义相对论还预言了其他类型的视界模型:在一个膨胀宇宙中,观察者可能会发现过去的某些区域不能被观测(所谓“粒子视界”),而未来的某些区域不能被影响(事件视界)。即使是在平直的闵可夫斯基时空中,当观察者处于一个加速的参考系时也会存在视界,这些视界也会伴随有半经典理论中的盎鲁辐射。

奇点
广义相对论的另一个普遍却又令人困扰的特色问题是时空的分界线——奇点的出现。时空可以通过沿着类时和类光的测地线来探索,这些路径是光子及其他所有粒子在自由落体运动中的可能轨迹,但爱因斯坦场方程的某些解具有“粗糙的边缘”——这被称作时空奇点,这些奇点上类时或类光的测地线会突然中止,而对于这些奇点没有定义好的时空几何来描述。需要说明的是,“奇点”往往可能并不是一个“点”:那些场方程的解的“粗糙边缘”在既有坐标系下,不仅可能是一个“点”,还可以以其他几何形式出现(比如克尔黑洞的“奇环”等)。一般意义上的奇点是指曲率奇点,这是说在这些点上描述时空曲率的几何量,例如里奇张量为无限大(曲率奇点是相对所谓坐标奇点而言的,坐标奇点本质上不属于奇点的范畴:有些度规在某个特定坐标下会产生无穷大,但本质上这些点不具有奇性,在其他合适的坐标下是光滑的,也不会产生无穷大的曲率张量)。描述未来的奇点(世界线的终结)的著名例子包括永远静态的史瓦西黑洞内部的奇点,以及永远旋转的克尔黑洞内部的环状奇点。弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度规,以及其他描述宇宙的时空几何都具有过去的奇点(世界线的开端),这被称作大爆炸奇点,而有些还具有未来的奇点(大挤压)。
考虑到这些模型都是高度对称从而被简化的,人们很容易去猜测奇点的出现是否只是理想状态下的不自然产物。然而著名的由全局几何证明的奇点定理指出,奇点是广义相对论的一个普遍特色结果,并且任何有质量的实体发生引力坍缩并达到一个特定阶段后都会形成奇点,而在一系列膨胀宇宙模型中也一样存在奇点。不过奇点定理的内容基本没有涉及到奇点的性质,这些关于确定奇点的一般结构(例如所谓BKL假说)的问题是当前相关研究的主要课题。另一方面,由于在对于物理规律的破坏方面而言,一个被包裹于视界之中的奇点被认为要好过一个“裸”的奇点,故而宇宙监督假说被提出,它认为所有未来的实际奇点(即没有完美对称性的具有实际性质的物体形成的奇点)都会被藏在视界之内,从而对外面对观察者不可见,即自然界憎恨裸奇点。尽管还没有实际证据证明这一点,有数值模拟的结果支持这一假说的正确性。

演化方程
每一个爱因斯坦场方程的解都是一个宇宙,这里的宇宙含义既包括了整个空间,也包括了过去与未来——它们并不单单是反映某些事物的“快照”,而是所描述的时空的完全写真。每一个解在其专属的特定宇宙中都能描述任意时间和任意位置的时空几何和物质状态。出于这个表征,爱因斯坦的理论看上去与其他大多数物理理论有所不同:大多数物理理论都需要指明一个物理系统的演化方程(例如量子力学中的埃伦费斯特定理),即如果一个物理系统在给定时刻的状态已知,其演化方程能够允许描述系统在过去和未来的状态。爱因斯坦理论中的引力场和其他场的更多区别还在于前者是自身相互作用的(是指它在没有其他场出现时仍然还是非线性的),并且不具有固定的背景结构(在宇宙尺度上会发生演化)。
为了更好地理解爱因斯坦场方程这个与时间有关的偏微分方程,可以将它写成某种能够描述宇宙随时间演化的形式。这种形式被称作“3+1”分解,其中时空被分为三维空间和一维时间。最著名的形式叫做ADM形式,在这种分解下广义相对论的时空演化方程具有良好的性质:在适当的初始条件给定的情形下方程有解并且是唯一的。场方程的“3+1”分解形式是数值相对论的研究基础。

全局和准局部量
演化方程的观念与广义相对论性物理中的另一个方面紧密联系:在爱因斯坦的理论中,一个系统的总质量(或能量)这个看似简单的概念无法找到一种普遍性的定义。其原因在于,引力场原则上并不像其他的场那样具有可以局部化的能量。
尽管如此,试图通过其他途径来定义一个系统的总质量还是可能的,在经典物理中,质量(或能量)的定义可以来自时间平移不变性的守恒量,或是通过系统的哈密顿形式。在广义相对论中,从这两种途径出发可以分别得到如下质量的定义:
  *  柯玛质量:从类时的Killing矢量出发通过柯玛积分得到的在时间平移不变性下的守恒量,表现为一个静态时空的总能量;
  *  ADM质量:在一个渐近平直时空中建立广义相对论的哈密顿形式,从中定义系统的总能量。
如果将一个系统的总质量中被引力波携带至无限远处的能量除去,得到的结果叫做零性无限远处的邦迪质量。这些定义而来的质量被舍恩和丘成桐的正质量定理证明是正值,而动量和角动量也具有全局的相应定义。在这方面的研究中还有很多试图建立所谓准局部量的尝试,例如仅通过一个孤立系统所在的有限空间区域中包含的物理量来构造这个孤立系统的质量。这类尝试寄希望于能够找到一个更好地描述孤立系统的量化方式,例如环假说的某种更精确的形式。

 

广义相对论 - 当前进展

在引力和宇宙学的研究中,广义相对论已经成为了一个高度成功的模型,至今为止已经通过了每一次意义明确的观测和实验的检验。然而即便如此,仍然有证据显示这个理论并不是那么完善的:对量子引力的寻求以及时空奇点的现实性问题依然有待解决;实验观测得到的支持暗物质和暗能量存在的数据结果也在暗暗呼唤着一种新物理学的建立;而从先驱者号观测到的反常效应也许可以用已知的理论来解释,也许则真的是一种新物理学来临的预告。不过,广义相对论之中仍然充满了值得探索的可能性:数学相对论学家正在寻求理解奇点的本性,以及爱因斯坦场方程的基本属性;不断更新的计算机正在进行黑洞合并等更多的数值模拟;而第一次直接观测到引力波的竞赛也正在前进中,人类希望借此能够在比至今能达到的强得多的引力场中创造更多检验这个理论的正确性的机会。在爱因斯坦发表他的理论九十多年之后,广义相对论依然是一个高度活跃的研究领域。

 


 

 

广义相对论 - 主要内容

爱因斯坦提出“等效原理”,即引力和惯性力是等效的。这一原理建立在引力质量与惯性质量的等价性上。根据等效原理,爱因斯坦把狭义相对性原理推广为广义相对性原理,即物理定律的形式在一切参考系都是不变的。物体的运动方程即该参考系中的测地线方程。测地线方程与物体自身固有性质无关,只取决于时空局域几何性质。而引力正是时空局域几何性质的表现。物质质量的存在会造成时空的弯曲,在弯曲的时空中,物体仍然顺着最短距离进行运动(即沿着测地线运动——在欧氏空间中即是直线运动),如地球在太阳造成的弯曲时空中的测地线运动,实际是绕着太阳转,造成引力作用效应。正如在弯曲的地球表面上,如果以直线运动,实际是绕着地球表面的大圆走。  
  引力是时空局域几何性质的表现。虽然广义相对论是爱因斯坦创立的,但是它的数学基础的源头可以追溯到欧氏几何的公理和数个世纪以来为证明欧几里德第五公设(即平行线永远保持等距)所做的努力,这方面的努力在罗巴切夫斯基、Bolyai、高斯的工作中到达了顶点:他们指出欧氏第五公设是不能用前四条公设证明的。非欧几何的一般数学理论是由高斯的学生黎曼发展出来的。所以也称为黎曼几何或曲面几何,在爱因斯坦发展出广义相对论之前,人们都认为非欧几何是无法应用到真实世界  
  
光波从一个大质量物体表面出射频率发生红移 
中来的。  
  在广义相对论中,引力的作用被“几何化”——即是说:狭义相对论的闵氏空间背景加上万有引力的物理图景在广义相对论中变成了黎曼空间背景下不受力(假设没有电磁等相互作用)的自由运动的物理图景,其动力学方程与自身质量无关而成为测地线方程:  
  而万有引力定律也代之以爱因斯坦场方程:  
  R_uv-1/2*R*g_uv=κ*T_uv   
  (Rμν-(1/2)gμνR=8GπTμν/(c*c*c*c) -gμν)  
  其中 G 为牛顿万有引力常数  
  该方程是一个以时空为自变量、以度规为因变量的带有椭圆型约束的二阶双曲型偏微分方程。它以复杂而美妙著称,但并不完美,计算时只能得到近似解。最终人们得到了真正球面对称的准确解——史瓦兹解。  
  加入宇宙学常数后的场方程为:  
  R_uv-1/2*R*g_uv+Λ*g_uv=κ*T_uv  

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